三角公式：从基础到高级的全面解析

三角函数变换公式在数学中占有重要地位，它们在解决各种问题时提供了极大的便利。这些公式包括倍角公式、和差化积、万能公式等，它们在三角函数的计算、化简和证明中起着关键作用。

一、角和与差的三角函数公式

这些公式用于计算两个角的和或差的正弦、余弦和正切值。

cos(α+β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ

cos(α-β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ

sin(α+β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ

sin(α-β) = sinα·cosβ - cosα·sinβ

tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β) = (tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

二、二倍角公式

这些公式用于计算一个角的两倍的正弦、余弦和正切值。

sin(2α) = 2sinα·cosα

cos(2α) = cos^2(α)-sin^2(α) = 2cos^2(α)-1 = 1-2sin^2(α)

tan(2α) = 2tanα/[1-tan^2(α)]

三、三倍角公式

这些公式用于计算一个角的三次的正弦、余弦和正切值。

sin3α = 3sinα-4sin^3(α)

cos3α = 4cos^3(α)-3cosα

四、半角公式

这些公式用于计算一个角的半的正弦、余弦和正切值。

sin^2(α/2) = (1-cosα)/2

cos^2(α/2) = (1+cosα)/2

tan^2(α/2) = (1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2) = sinα/(1+cosα) = (1-cosα)/sinα

五、万能公式

这是一个降幂扩角公式，可以用于转换任意角度的三角函数值。

sinα = 2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα = [1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα = 2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

六、积化和差公式和和差化积公式

这些公式用于将正弦和余弦的乘积或和转换为其他形式。

sinα·cosβ = (1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ = (1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ = (1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ = -(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]