多项式乘多项式：运算规则与实例解析

多项式相乘是先将两个多项式的每一项分别相乘，再将所得的积相加。这个法则可以概括为（a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。在运算过程中，我们可以利用乘法分配律得出这个结果。多项式乘以多项式就是利用乘法分配律法则得出的。多项式的运算包括加法和乘法。多项式的加法是指同类项的系数相加，字母保持不变。多项式的乘法是指把一个多项式中的每个单项式与另一个多项式中的每个单项式相乘之后合并同类项。另外，带余除法也是多项式运算的一种。若f(x)和g(x)是F[x]中的两个多项式，且g(x)不等于0，则在F[x]中有唯一的多项式 q(x)和r(x)，满足ƒ(x)=q(x)g(x)+r(x)，其中r(x)的次数小于g(x)的次数。此时q(x)称为g(x)除ƒ(x)的商式，r(x)称为余式。当g(x)=x-α时，则r(x)=ƒ(α)称为余元，式中的α是F的元素。此时带余除法具有形式ƒ(x)=q(x)(x-α)+ƒ(α)，称为余元定理。g(x)是ƒ(x)的因式的充分必要条件是g(x)除ƒ(x)所得余式等于零。如果g(x)是ƒ(x)的因式，那么也称g(x)能整除ƒ(x)，或ƒ(x)能被g(x)整除。特别地，x-α是ƒ(x)的因式的充分必要条件是ƒ(α)=0，这时称α是ƒ(x)的一个根。