面面垂直的证明与性质

两个平面相交成直二面角时，它们互相垂直。这种相互关系也被称为面面垂直。证明这个定理的一种方法是：如果一个平面内的垂线与另一个平面平行，那么这两个平面也互相垂直。具体证明如下：

如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面。为了证明这一点，我们首先设定α和β是两个相交的平面，它们的交线为l。点O位于交线l上，而OP是垂直于l的。我们需要证明OP也垂直于β。在β平面内，我们画一条OQ线垂直于l。由于OP和OQ都垂直于l，并且l是α和β的交线，因此∠POQ是α和β的二面角的一个平面角。因为α和β是垂直的，我们知道∠POQ=90°，这意味着OP垂直于OQ。由于OP已经垂直于l并且OQ也在β内，因此我们可以得出OP也垂直于β。

如果两个平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。这是由于一个事实：如果两个平面都垂直于一个平面，那么它们的交线要么与这个平面平行，要么与这个平面垂直。因此，如果交线不与第三个平面垂直，那么它必然与第三个平面平行。但是，如果交线与第三个平面平行，那么这两个平面就不会相交，这与我们的假设矛盾。因此，交线必须垂直于第三个平面。

通过以上的推理，我们可以看到这两个定理是相互独立的，但都是关于面面垂直的重要性质。第一个定理关注的是在一个平面内与交线垂直的直线如何垂直于另一个平面，而第二个定理则是关于两个垂直于第三个平面的平面的交线如何垂直于这个第三个平面。这些定理为我们提供了理解和证明面面垂直的重要工具。