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空间与几何

第一章：点与向量的基础概念

在空间直角坐标系中，点A（1，-2，3）和B（2，-3，-4）位于第四卦限。

点M(a, b, c)关于x轴的对称点坐标为(a, -b, -c)。关于yOz坐标面的对称点坐标为(-a, b, c)。

设数1, 2, 3不全为零，使1a + 2b + 3c = 0，则a, b, c三个向量共面。

设a = (2,1,2)，b = (4,1,10)，c = (b, a)，且a · c = 0，则b · c = -16。

直线方程x + 2y + 3z + 4 = 0与平面2x + y + z + 6 = 0的交点为（x，-2，-2）。

点（2，1，1）到平面x + y + z - 1的距离是√3。

将xOy坐标面上的双曲线2x² + 2y² = 1绕x轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程是x²/2 + y² = 1。

已知两点A(2，2，2)和B（1，3，0），求向量的模长、方向余弦和方向角。

求过三点M1（2，-1，4），M2（-1，3，-2），M3（0，2，3）的平面的方程。

|a| = 6，|b| = 1，a与b的夹角为θ，求向量a × b与a × b的夹角。

一平面过点（1，0，-1）且平行于向量a = (2,1,1)和b = (1,1,0)，试求这平面方程。

第二章：函数的微分与导数

函数f(x, y) = x² + y²在点（0，0）处的偏导数是否存在，判断其连续性。

求函数z = ln(y² + 2x + 1)的定义域。

设z = xy³ - 3xy² + xy + 1，求z关于x、y的一阶、二阶导数。

（1）计算函数z = e^x在点（2,1）处的全微分。

（2）求由方程x + y - 1 = 0所确定的隐函数y关于x的一阶与二阶导数。

（1）计算函数z = xy²的全微分。

（2）设z = u²v - 3u³v³, u = e^x, v = sinx，求全导数dz/dx。

求球面x² + y² + z² = 1在点（1，2，3）处的切平面及法线方程。

求曲线x = t, y = t², z = t³在点（1，1，1）处的切线和法平面方程。