因式分解题目解析：从复杂到简单的数学之旅

因式分解与代数式求值

1、我们来看几个因式分解的例子。

① 对于 a2+10a+25，观察中间项10a，可以拆分为5a和5a，而5a是a2和25的平方根。因此，该式可以写作 (a+5)2。

② 对于 m2−12mn+36n2，同样观察中间项-12mn，可以拆分为-6mn和-6mn，而-6mn是m2和36n2的平方根。因此，该式可以写作 (m−6n)2。

③ 对于 xy3−2x2y2+x3y，提取公因式xy，得到 xy(y2−2xy+x2)。进一步观察，y2−2xy+x2 是 (y−x)2 的形式。因此，该式可以写作 xy(x−y)2。

④ 对于 (x2+4y2)2−16x2y2，利用平方差公式，可以写作 (x2+4y2+4xy)(x2+4y2−4xy)。进一步观察，x2+4y2+4xy 是 (x+2y)2 的形式，而 x2+4y2−4xy 是 (x−2y)2 的形式。因此，该式可以写作 (x+2y)2(x−2y)2。

2、我们来看代数式的求值问题。

对于 4x2+12xy+9y2，观察该式，可以发现它是 (2x+3y)2 的形式。当 x=−19，y=12 时，代入得 (2(−19)+3(12))2=(−38+36)2=(−2)2=4。

对于 ∣x−y+1∣ 与 x2+8x+16 互为相反数的问题，首先观察 x2+8x+16，它是 (x+4)2 的形式。由于两者互为相反数，所以它们的和为0，即 (x+4)2+∣x−y+1∣=0。由于平方项总是非负的，所以 ∣x−y+1∣=0，从而 x−y+1=0，即 x−y=−1。进一步，x2+2xy+y2 是 (x+y)2 的形式。由于 x−y=−1，我们可以得到 x+y=1（这里假设了 x 和 y 的取值使得 x+y 为正，因为题目没有给出其他限制条件）。所以，x2+2xy+y2=(x+y)2=12=1。